高斯圆（Gauss Circle Problem）

高斯圆问题（Gauss Circle Problem） 是一个经典的数论问题，研究的是：

在半径为 $r$ 的圆中，有多少个格点（即横纵坐标为整数的点）位于圆心为原点的圆内部或边界上？

换句话说，求解满足以下不等式的整数点对 $(x, y)$ 的个数：

\[ x^2 + y^2 \le r^2 \]

📐 问题描述

给定一个半径为 $r$ 的圆，圆心位于原点 $(0,0)$，我们想知道该圆内（包括边界）共有多少个整点坐标 $(x, y)$。

这个问题用函数表示为：

\[ N(r) = \#\{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 \mid x^2 + y^2 \le r^2\} \]

高斯首先证明了：

\[ N(r) = \pi r^2 + E(r) \]

其中 $E(r)$ 是误差项，反映整点数与圆面积之间的偏差。

高斯最早给出了估计：

\[ |E(r)| = O(r) \]

此后研究者不断缩小误差项的界，目前已知最好的结果是：

\[ E(r) = O(r^{\theta}) \]

其中指数 $\theta$ 的最佳上界目前为：

问题的一个重要未解目标是：

是否存在 $\varepsilon > 0$，使得 $E(r) = O(r^{\frac{1}{2} + \varepsilon})$ 或更强的猜测： $E(r) = O(r^{1/2 + \varepsilon}) \text{ for any } \varepsilon > 0$

例如，$r = 2$ 时，圆的范围为 $x^2 + y^2 \le 4$，整数点包括：

总共为 13 个整点。

计算整点数量的近似公式如下：

\[ N(r) \approx \pi r^2 + O(r) \]

对于大 $r$，主项 $\pi r^2$ 趋于精确，而误差项 $E(r)$ 的控制是数论中的研究热点。